Г: ? Я хочу понять: что такое ФУНКЦИЯ? Почему ваши коллеги возятся с этой вещью, как с писаной торбой? но никому не дают заглянуть в нее? Зачем эти функции нужны? Какие они бывают? а каких не бывает? Что можно сделать с любой функцией; что?
не с любой, а только с очень хорошей; чего нельзя делать ни под каким видом? Дайте простому гуманитарию разобраться в вашей математической кухне! М: ? Извольте: у нас на кухне секретов нет. Но сперва позвольте познакомить вас с более простой вещью: с ГРАФИКОМ функции!
Г: ? Давайте его сюда!
О нем тоже много сказок рассказывают? но строгого определения я ни от кого не слыхал. Начните же с определения графика! М: ? Хорошо. Вообразите, что мы с вами находимся на плоскости, где введена система декартовых координат. То есть, каждой точке плоскости мы сопоставили пару чисел (х, у).
Это вам знакомо? Г: ? Да, это вещь привычная. М: ? Итак, ГРАФИКОМ функции называется любая фигура F на плоскости, обладающая таким свойством: каждая прямая, параллельная оси (Y), пересекает фигуру F не более чем в одной точке. Вот вам определение. Теперь займемся примерами.
Всякая ли прямая на плоскости является графиком некой функции? Г: ? Ну конечно! Эти функции так и называют: ЛИНЕЙНЫЕ. Хотя вернее было бы сказать: ПРЯМОлинейные! М: ?
Да, так было бы точнее. Но уж так повелось?
и не будем вводить новые слова! Раз вы знакомы с линейной функцией, то назовите ДВЕ такие функции с разными графиками! Г: ?
Пожалуйста! Одна функция: (у = х); другая: (у = — х).
М: ? Что вы скажете об их графиках?
Г: ? Очень просто: графики этих двух функций суть биссектрисы углов между осями координат.
График (у = х) делит пополам первый и третий координатные углы, а график (у = — х) ? второй и четвертый углы. Оттого угол между этими двумя графиками? прямой. М: ?
Воистину так! А прямая, параллельная одной из координатных осей: она является графиком какой-либо функции?
Г: ? Это зависит от оси! Если прямая вертикальна? то есть, параллельна оси (Y) ? то она, конечно, ничьим графиком быть не может. Если же она параллельна оси (X), то она? график ПОСТОЯННОЙ функции.
Например: (у = 5). М: ? Ну, с прямыми мы разобрались.
А как насчет ОКРУЖНОСТИ? Является ли она графиком какой-то функции? Г: ? Это надо проверить… Нет, не получится: ведь окружность пересекает прямую в двух точках!
М: ? Ну, не любую прямую: есть же касательные!
Но для ПОЧТИ ЛЮБОЙ прямой вы правы: так что окружность не задает никакую функцию. А как насчет ПОЛУокружности? Г: ? Это? другое дело! Если взять ту полуокружность радиуса R с центром в начале координат, которая лежит в верхней полуплоскости, то она пересекает любую вертикальную прямую в ОДНОЙ точке?
так что, по вашему определению, она? график функции! Только непонятно: КАКОЙ функции? М: ? А вот это? вопрос НЕКОРРЕКТНЫЙ! Раз вы задали функцию ее ГРАФИКОМ?
значит, вы ее УЖЕ определили! Теперь можно исследовать ее свойства: например, искать область определения, или область значений? или выяснять НЕПРЕРЫВНОСТЬ графика.
Г: ? Но где же ФОРМУЛА, выражающая нашу функцию?
М: ? Пока? нигде! Такой формулы может и не быть!
ГРАФИК есть у каждой функции? хотя порою нелегко разобраться в свойствах функции по виду ее графика. А формулы есть лишь у самых удачных функций. Но та, что задана полуокружностью?
удачная. Вспомните теорему Пифагора, и найдите формулу этой функции! Г: ? Это несложно: у = R..-х..
, где R? радиус окружности, а (х) ? любое число из отрезка (-R, R), который есть область определения нашей функции. М: ? Да, тут нам повезло: мы выбрали в качестве графика столь удобную кривую, что ее удалось задать и формулой.
А что, если выбрать в качестве графика ПАРАБОЛУ? или ГИПЕРБОЛУ? Г: ? Если график? парабола, то функция известна: (у = х..). Если гипербола?
тоже известна: (у = 1х). М: ? Да, такие функции есть. Но только ли они? Ведь параболу и гиперболу можно СДВИГАТЬ по плоскости! Г: ?
Конечно, можно! Это соответствует ЛИНЕЙНОЙ ЗАМЕНЕ аргумента (х) или функции (у).
Общие формулы, наверное, таковы: (у = ах.. + вх +с) для параболы, (у = а + 1(вх+с)) для гиперболы. М: ?
Неплохо вас учили преобразованию графиков функций! Но кроме сдвигов и растяжений, в плоскости есть ПОВОРОТЫ.
Например, параболу можно повернуть на 90 градусов, гиперболу? на 45 градусов. Задают ли эти кривые какие-нибудь функции?
Г: ? После поворота парабола ляжет на бок?
и будет пересекать любую вертикальную прямую в ДВУХ точках… Впрочем, можно разрезать параболу пополам? как мы сделали с окружностью! Тогда половинка параболы в верхней полуплоскости задаст функцию: у = .. х. М: ?
Верно! А какую функцию задаст половинка гиперболы, повернутая на 45 градусов? Г: ?
Затрудняюсь сказать… Видно только, что это будет ЧЕТНАЯ функция: ведь ее график симметричен относительно оси (Y). М: ? Правильно! Но я вам подскажу, как можно вывести ФОРМУЛУ такой функции.
Вспомним уравнение обычной гиперболы: (ху = 1) ? и заметим, что число х равно РАССТОЯНИЮ от точки (х, у) до оси (Y), а число х?
расстоянию от этой точки до оси (Х). При повороте чертежа на 45 градусов ось (Х) переходит в прямую (у = х), а ось (Y) ? в прямую (у = — х). Расстояние между точками при повороте сохраняется?
а расстояние от точки (х, у) до любой прямой равно модулю результата ПОДСТАНОВКИ чисел (х) и (у) в УРАВНЕНИЕ этой прямой. (NB: Это? известный факт аналитической геометрии: вы можете проверить его сами! ) Итак, уравнение (ху = 1) перейдет при повороте на 45 градусов в уравнение (х+у)(х-у)=1, или (х..-у..
= 1). Эту формулу называют КАНОНИЧЕСКИМ уравнением гиперболы? хотя она ничем не лучше и не хуже формулы (ху = 1).
Ее легко разрешить относительно (у). Г: ? Действительно: (у = .
.1+х.. ) ? очень похоже на уравнение полуокружности. Но какая разница в графиках! М: ? Вот поэтому я начал объяснять вам функцию через ее ГРАФИК: он полнее отражает существо дела. А теперь я могу дать общее ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ: это? любая тройка (X, Y, F), состоящая из двух МНОЖЕСТВ (X) и (Y) и одного ЗАКОНА (F), который сопоставляет каждому элементу (х) их (Х) единственный элемент (у = F(х) из (Y).
ГРАФИК функции (F), о котором мы говорили, представляет собою один вариант такого закона: каждой точке (а) из множества (Х), лежащего на прямой (R), мы сопоставляем ту единственную точку графика (F), которая над нею висит? а потом проектируем эту точку графика на ось (Y). В нашем случае эта проекция есть действительное число F(у). Г: ? Значит, алгебраическая формула?
это ДРУГОЙ вариант закона, сопоставляющего любому числу из (Х) единственное число из (Y)! И, наверное, есть еще ИНЫЕ формулировки таких законов? не сводимые ни к графикам, ни к формулам? М: ?
Именно так! Вот пример: возьмем в качестве (Х) числовую прямую, а в качестве (Y) множество из двух чисел: 0 и 1. Закон (F) определим так: F(a) = 0, если (а) ? РАЦИОНАЛЬНОЕ число, и F(a) = 1, если (а) ? ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ число. Как вы думаете: можно этот закон (F) задать ФОРМУЛОЙ, или ГРАФИКОМ?
Г: ? Формулой? вряд ли! Например, F(1) = 0 ? это очевидно. Но что F(..2) = 1 ?
это нужно доказывать! Впрочем, мы это доказывали: что корень из двух иррационален. А вот чему равно F(П) ?
я вовсе не знаю… Говорят, что Пи?
иррациональное число; но доказано ли это? М: ?
К счастью, уже доказано? хотя не так давно, 240 лет назад.
Но есть числа (хотя бы (е+П), о которых пока не известно: рациональные они, или иррациональные? Поэтому значения функции (F) известны НЕ ВО ВСЕХ точках числовой прямой! А что вы скажете о ГРАФИКЕ функции (F)? Г: ? Это что-то очень странное! Ясно, что все точки графика лежат на двух параллельных прямых: (у=0) и (у=1).
Первую из них они заполняют густо? так же, как РАЦИОНАЛЬНЫЕ числа заполняют числовую ось… Но и на другой прямой точки графика лежат густо! Например, F(a.
.2в) = 1, для любых целых чисел (а) и (в) ? а ведь ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел, пропорциональных корню из двух, тоже очень много! Однако точки графика F(х) НЕ ЗАПОЛНЯЮТ целиком ни ту, ни другую прямую! Я не могу вообразить наглядно такую фигуру! М: ?
Я? тоже! Но я привык к таким функциям, умею ими пользоваться? и, значит, ПОНИМАЮ их, хотя не умею ни записать их формулой, ни ни нарисовать их графики. Чего и вам желаю!
Г: ? Пожелать-то легко… Вы лучше объясните: чем они так хороши, эти функции? За что вы их цените выше чисел? хотя числа всем понятны, а функции понимают одни математики? М: ?
Спасибо за комплимент: я рад, что ЧИСЛА нынче стали понятны ВСЕМ! Я в них еще многого не понимаю…
Но если сравнить число с функцией, то сразу заметно одно различие: число описывает некий ПОСТОЯННЫЙ объект, а функция? ПЕРЕМЕННЫЙ объект. Например, кирпич можно задать ТРЕМЯ ЧИСЛАМИ: его длиной, шириной и высотой. Но если нас интересует ТРАЕКТОРИЯ брошенного кирпича, то ее приходится описывать не числом, а ФУНКЦИЕЙ!
Г: ? Ну да: кирпич летит по параболе! М: ?
Не совсем так! ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ брошенного кирпича описывает параболу? если можно пренебречь сопротивлением воздуха. Но кирпич еще и вращается вокруг своего центра тяжести!
Если это вращение равномерно? тогда у него есть ОСЬ, которая сохраняет свое направление в пространстве, смещаясь параллельно самой себе? так же, как ось Земли при ее движении вокруг Солнца. Оттого полет кирпича приходится описывать небольшим НАБОРОМ числовых функций, заданных на всей числовой прямой.
К счастью, эти функции оказываются решениями несложных уравнений: это заметил Ньютон, с этого началась современная физика. Вот для нее и нужны функции!
Г: ? Ага! Значит, функции вы придумали не произвольно, а по заказу физиков! М: ? Мы вообще ничего не придумываем произвольно: все? под диктовку Природы! Когда нужно было считать овец или зерно?
тогда пришлось придумать целые и рациональные числа. Когда люди начали делить пашню и строить каменные стены?
тогда понадобилось исчисление многоугольников и многогранников, сиречь геометрия. Когда астрономы захотели понять движение планет?
тогда появилось исчисление функций, названное МАТЕМАТИЧЕСКИМ АНАЛИЗОМ. Каждый раз практика подсказывала нам основные ОБЪЕКТЫ и их необходимые ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Потом обнаруживались природные ЗАКОНОМЕРНОСТИ среди этих объектов и преобразований. Г: ? Вы имеете в виду правила арифметики и аксиомы геометрии? М: ? Да, конечно!
В первую очередь? законы арифметических действий над числами. Например, обнаружили мы, что (ав = ва) для любых натуральных чисел. Сразу встает вопрос: верно ли это для рациональных чисел? Или для действительных чисел? И так далее… Или наоборот: оказалось, что 2..
= 3.., то есть возведение в степень (а..
) НЕ коммутативно. Значит, решение похожих уравнений (х.. = в) и (а.. = в) требует двух РАЗНЫХ действий! Одно из них (извлечение корня) сводится к возведению числа в РАЦИОНАЛЬНУЮ степень, а другое (ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ) ? НЕ сводится к извесным операциям.
Оттого функции «корень» и «логарифм» имеют совсем разные свойства. Г: ? Вот и поговорим о самых важных свойствах функций! М: ? Да, пора заняться этим всерьез. Итак, мы будем говорить о функциях, которые определены на всей действительной прямой (R) и принимают действительные значения.
Первый вопрос: обладают ли такие ФУНКЦИИ свойствами, похожими на свойства ЧИСЕЛ? Можно ли их складывать, умножать и делить друг на друга? Г: ?
Конечно, можно? если делать это ОТДЕЛЬНО в каждой точке, где определены наши функции!
Тогда не придется делать ничего нового, кроме привычных действий над числами… М: ? Именно так мы работаем с функциями в рамках арифметики.
Только ДЕЛЕНИЕ функций может вызвать затруднения: что делать в тех точках, где функция, стоящая в знаменателе дроби, обращается в нуль? Г: ? Давайте считать, что 10 = …! М: ? Так и делается?
хотя это опасный прием. Но для ХОРОШИХ функций (например, для дробей, числители и знаменатели которых? многочлены) ? для них «деление на нуль» с введением символа БЕСКОНЕЧНОСТИ (…
) осложнений не вызывает. Как будто мы пополнили области определения и изменения функций еще одной, очень далекой точкой: (…). Но все это? в рамках АРИФМЕТИКИ числовых функций. А еще у них есть ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ свойства?
благо, их графики суть ФИГУРЫ на плоскости. Г: ? Причем эти фигуры?
особые, мало похожие на привычные геометрам многоугольники или окружности! М: ? Да? и потому для изучения геометрических свойств графиков функций пришлось изобрести особое «исчисление»: так называемый МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Г: ?
А что в нем особого? по сравнению с арифметикой чисел или геометрией многоугольников? М: ? Если говорить формально, то новинка лишь одна: понятие ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ в точке, которое позволяет определить НЕПРЕРЫВНУЮ функцию. Но дальше букет новых понятий разрастается? и конца ему не видно. Например, появляется ПРОИЗВОДНАЯ функции, которая измеряет КРУТИЗНУ ее графика и позволяет строить КАСАТЕЛЬНУЮ ПРЯМУЮ к графику в любой его точке.
Затем возникают ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: их решениями являются ФУНКЦИИ, а не числа. Потом ИНТЕГРАЛ от функции дает возможность вычислить ПЛОЩАДЬ под ее графиком; вдобавок, интеграл позволяет узнать УГОЛ между двумя функциями? как будто они ВЕКТОРЫ в некотором многомерном пространстве. Г: ? Ну, раз так? предъявляйте определения новых понятий!
М: ? Я начну с определения НЕПЕРЕРЫВНОЙ функции, и сначала объясню это свойство на ГРАФИКЕ функции. Рассмотрим график (у=f(х)) вблизи точки (а;f(а)). Мы называем функцию f(х) НЕПРЕРЫВНОЙ в точке (а), если малый кусочек ее графика вокруг точки (а;f(а)) можно зажать внутрь сколь угодно узкой ПОЛОСКИ, параллельной оси (Х). На языке алгебры это определение звучит так: для любого положительного числа (е0) найдется положительное число (d0) такое, что из (х-а<d) следует ((f(x)-f(a)<е). Проверьте сами, поглядев на любой график, что эти два определения имеют одинаковый смысл!
Г: ? Похоже на то… Вы сначала произвольно выбираете ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ полосу ширины (2е) вокруг прямой (у=f(а)), а потом стараетесь выбрать столь узкую ВЕРТИКАЛЬНУЮ полосу ширины (2d) вокруг прямой (х=а), чтобы весь кусок графика, висящий внутри вертикальной полосы, попал внутрь горизонтальной полосы.
Верно ли я вас понял? М: ? Совершенно верно! И теперь давайте проверим: какие функции ОБЛАДАЮТ свойством непрерывности, а какие НЕ ОБЛАДАЮТ им? Для начала? ЛИНЕЙНАЯ функция: например, (у = 2х+3) возле точки (х=0).
Я вам заявляю, что она НЕПРЕРЫВНА: значит, нужно научиться ВЫБИРАТЬ число (d0) по заданному числу (е0). Подсчитайте сами: можно ли выразить зависимость (d) от (е) какой-то простой формулой? Г: ? Пожалуй, можно: надо взять (d=e2). М: ? Верно!
Вот как удобна линейная функция: для нее выбор числа (d) по числу (е) можно произвести ОДИНАКОВО? независимо от того, возле какой точки графика мы ведем рассуждения.
Есть и другие функции с этим свойством: например, СИНУС или КОСИНУС. Проверьте сами, что для них достаточно выбрать (d=e): такой выбор позволяет доказать непрерывность функции сразу во всех точках. Иное дело? функция (у=х..
). Она тоже непрерывна во всех точках, и это нетрудно доказать. Но СПОСОБ ВЫБОРА числа (d) по числу (е) ЗАВИСИТ от той точки (х=а, у=а..), около которой мы «укрощаем» наш график. Например, около нуля достаточно взять (d=е): проверьте это сами! Но около точки (х=2; у=4) выбор (d=е) нам не поможет?
зато выбор (d=е5) дает нужную нам оценку. Проверьте это! Дело в том, что функция (у=х..) с ростом аргумента (х) возрастает все быстрее: ее график становится все круче, то есть (на языке Математического Анализа) ее ПРОИЗВОДНАЯ неограниченно растет. Впрочем, о производных речь впереди; сейчас нам пора разобраться с РАЗРЫВНЫМИ функциями.
Г: ? А нужно ли с ними разбираться? Ведь самые важные функции (по вашим словам) ? непрерывные!
М: ? Действительно, так.
Но, к сожалению, даже очень удобные функции? например, (у=1х) ? имеют отдельные точки разрыва.
Докажите-ка, что (у=1х) разрывна в точке (0)! Г: ?
А что тут доказывать? Она даже не определена в нуле! М: ? Но, может быть, это? наше упущение? Нельзя ли ПРОДОЛЖИТЬ эту функцию в точке (х=0) таким значением (f(0)=а), что в итоге она станет всюду непрерывной? Г: ?
Конечно, нельзя! Ведь график (у=1х) СЛЕВА от нуля стремится к (-…), а справа к (+…) ? так что около нуля этот график НЕЛЬЗЯ зажать в горизонтальную полосу НИКАКОЙ ширины! Уж тем более? в узкую полоску ширины (2е)! М: ?
Верно! Кстати, во всех прочих точках функция (у=1х) НЕПРЕРЫВНА? хотя выбор (d) по (е) для нее (как и для функции у=х..
) ЗАВИСИТ от той точки (х=а), в которой мы доказываем непрерывность. А теперь мы перейдем к гораздо худшей функции Дирихле (у=D(х): той, которая НЕ ИМЕЕТ наглядного графика, поскольку она равна (0) в рациональных точках, и (1) в иррациональных точках. Что вы думаете о ее непрерывности?
Г: ? Ясное дело! Она разрывна во ВСЕХ точках! М: ?
Верно! А как это можно доказать? Г: ? Так видно же, что НИКАКОЙ «кусок графика» этой функции не умещается ни в какой полосе шириною меньше единицы! М: ? «Видно» ? это удачное слово в процессе ДОГАДКИ?
но вы же сами сказали, что у этой функции НЕТ явного графика! Оттого ваше утверждение о «невместимости» куска графика в узкую полоску нужно перевести на язык неравенств между числами. Вот если вы докажете, что в ЛЮБОЙ окрестности РАЦИОНАЛЬНОГО числа найдется ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ число, и наоборот? в любой окрестности иррационального числа найдется рациональное число? тогда ваше рассуждение о повсеместной разрывности функции Дирихле станет строгим!
Г: ? Над этим нужно подумать… Но, пожалуй, я смогу это доказать: я достаточно знаю о числах? рациональных и иррациональных!
М: ? Тогда? в добрый час! Это вы сделаете сами. А нам вместе полезно разобрать еще один пример. Можете ли вы придумать функцию, которая разрывна во всех точках, КРОМЕ ОДНОЙ?
Г: ? То есть, она непрерывна только в одной точке? М: ? Именно так! Г: ? Интересно…
Пожалуй, можно взять что-нибудь вроде функции Дирихле? то есть, разбросать значения будущей функции по графикам двух разных «хороших» функций, в зависимомти от того, рационально ли значение аргумента (х)… М: ? Идея хороша!
Но какие функции подойдут для вашего замысла? — Г: ? Ясно, какие!
Любые две непрерывные функции, графики которых пересекаются только в ОДНОЙ точке! Например: (f(х)=х) и (g(х)=(-х)). Итоговая функция будет равна (х) во всех рациональных точках и (-х) во всех иррациональных точках. Тогда в нуле она непрерывна, а в любой другой точке? разрывна! М: ?
Это верно! Надеюсь, что вы сами доведете доказательство вашего утверждения до победного конца на строгом (е-d)-языке. М: ? А теперь нам пора переходить в МИР ПРОИЗВОДНЫХ. И опять я начну с геометрических вещей: я определю, что такое ПРЯМАЯ, КАСАТЕЛЬНАЯ к графику функции (у=f(х)) в точке (а;f(а)). Это похоже на определение НЕПРЕРЫВНОЙ функции. Но там мы втискивали кусочек графика в узкую горизонтальную ПОЛОСКУ (прямоугольник), а здесь будем втискивать тот же кусочек в УЗКИЙ УГОЛ, биссектрису которого назовем КАСАТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ к графику функции.
Формальное определение таково: прямая (у=кх+в) КАСАЕТСЯ графика функции (у=f(х)) в точке (а;f(а)), если для каждого числа (е0) найдется число (d0) такое, что из неравенства х-а<d следует неравенство: f(x)-f(a)+k(a-x) < e(x-a). Если это свойство выполнено для некоторого числа (к), то (к) называется ПРОИЗВОДНОЙ функции (у=f(х)) в точке (х=а). Г: ? Лихо закручено! Но геометрический смысл тут несложный, так что я готов поверить: ваша алгебра выражает то же самое, что ваша геометрия.
Кстати: следует ли из СУЩЕСТВОВАНИЯ производной ее единственность? М: ? Да, следует! Это нетрудно доказать расчетом? но я не буду тратить время на это. Кто захочет, тот сам проверит. Г: ?
Тогда другой вопрос: следует ли из НЕПРЕРЫВНОСТИ функции, что ее график имеет КАСАТЕЛЬНУЮ ПРЯМУЮ? Или верно обратное заключение? М: ?
ОБРАТНОЕ заключение ВЕРНО, а прямое? НЕТ.
Вот простейший контрпример: (у=х). Легко доказать, что эта функция везде непрерывна. Но ее график около точки (0) имеет ИЗЛОМ? и загнать этот излом внутрь узкого угла с ЛЮБОЙ биссектрисой невозможно.
Если удается загнать туда ПРАВУЮ половину графика (у = х), то не вмещается ЛЕВАЯ половина (у = — х), и наоборот. Г: ? Ага! Значит, ИМЕТЬ ПРОИЗВОДНУЮ? более сильное свойство функции, чем БЫТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ.
А какое из этих свойств легче ЛОКАЗАТЬ для конкретной функции? М: ? Гораздо легче проверить наличие ПРОИЗВОДНОЙ. Оттого понятия «производная» и «касательная прямая к графику» утвердились в математике гораздо раньше, чем понятие «непрерывная функция». Например, я утверждаю, что функция (у = х..
) в ЛЮБОЙ точке графика имеет производную, равную (nx…). Давайте докажем это! Запишем число, близкое к (а), в виде (а+t), и составим разность значений двух функций: исходной (у = х..) и линейной (у = а..
+na…t) в точке (х=a+t). Эта разность равна ((a+t).. — a.. — na…
t) = = ((n(n-1)2t.. + n(n-1)(n-2)6t..
+…+t..). Эту длинную сумму? многочлен от (t) ? мы должны за счет выбора (t0) сделать по модулю меньшей, чем произведение (еt), для заданного (е0).
К счастью, все слагаемые в нашем многочлене от (t) имеют степени БОЛЬШЕ 1. Оттого наша задача разрешима: достаточно сделать КАЖДОЕ из слагаемых n(n-1)2t; n(n-1)(n-2)t.. ; и так далее?
до t… ? меньшим, чем (еn) ? где натуральное (n) фиксировано, (е0) задано. Эта арифметическая задача вам, наверное, под силу. Г: ? Да, пожалуй: нужно решить каждое из (n-1) неравенств относительно (t), а потом выбрать НАИМЕНЬШЕЕ значение (t) из (n-1) полученных решений. Это легко!
Что же мы доказали в итоге? М: ? Мы доказали, что каждая СТЕПЕННАЯ функция (у = х..) имеет производную в любой точке? то есть, что график степенной функции имеет касательную прямую в каждой точке.
Мы нашли явную ФОРМУЛУ этой производной? и, между прочим, доказали, что все степенные функции непрерывны во всех точках! Г: ?
А как непрерывность следует из существования производной? М: ? Очень просто!
Помните, как я вам обещал, что функция (у = х..) непрерывна в точке (х=2) ? и посоветовал для доказательства этого факта взять (d=е5)? Я тогда уже знал, что производная этой функции в этой точке равна 4 ? и предложил взять в качестве (d) число (ек), где модуль к больше модуля производной от нашей функции в интересующей нас точке.
Это правило годится для доказательства непрерывности ЛЮБОЙ функции в ЛЮБОЙ точке, где она имеет производную. Г: ? При условии, что мы умеем вычислить эту производную… Для каких функций это удается сделать? кроме степенной, которую мы уже одолели? М: ?
Во-первых, легко доказать, что СУММА или ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух функций, имеющих производные, также имеет производную. Для ЧАСТНОГО двух функций это тоже верно? в любой точке, где знаменатель не равен нулю. Далее: СЛОЖНАЯ функция, вроде sin(x..), имеет произодную, поскольку ее имеют промежуточные функции (у=sin(х)) и (у=х..
). Наконец, легко вычислить производные от всех тригонометрических функций, а также от показательной функции? и от ОБРАТНЫХ к ним функций. Так что любая ЭЛЕМЕНТАРНАЯ функция имеет производную везде?
кроме очевидных «экзотических» точек. Г: ?
А как насчет «экзотических ФУНКЦИЙ» ? вроде той, которая непрерывна лишь в одной точке? М: ?
Такие примеры вы теперь можете строить сами? сколько вашей душе угодно будет! Нетрудно смастерить функцию, которая имеет производную только в ОДНОЙ точке?
а во всех остальных точках она разрывна. А еще можно придумать функцию, которая ВСЮДУ НЕПРЕРЫВНА, но НИГДЕ не имеет производной!
Но этот пример? очень трудный; Карл Вейерштрасс его осилил, а сумеете ли вы? не знаю…
Г: ? Я тоже не уверен в своих силах? и зачем подражать лягушке, которая состязалась с волом? Вы лучше скажите: какие ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ по геометрии графиков функций становятся доступны человеку, усвоившему понятия и технику производных?
М: ? Вот простой пример: умея вычислять производную, легко найти на графике функции все точки, где производная равна НУЛЮ.
Чем замечательна касательная прямая в такой точке? Г: ? Она горизонтальна! М: ?
Верно! Что можно сказать о ГРАФИКЕ функции в такой точке? Г: ? Видимо, функция имеет в этой точке МИНИМУМ… Или МАКСИМУМ? М: ? Возможно и то, и другое?
и даже третье! Взгляните на график функции (у = х..
): что происходит в нуле с нею и с ее производной? Г: ? Производная там равна нулю? но сама функция в этой точке монотонно возрастает! М: ? Вот именно. Оттого для понимания сути дела нужно проследить за ИЗМЕНЕНИЕМ ЗНАКА производной вблизи той точки, где она обращается в нуль.
Кроме точек МИНИМУМА (где производная меняет знак с МИНУСА на ПЛЮС) и МАКСИМУМА (где знак производной меняется с ПЛЮСА на МИНУС), есть еще ТОЧКИ ПЕРЕГИБА: в них знак производной НЕ МЕНЯЕТСЯ, но график функции слева и справа лежит ПО РАЗНЫЕ СТОРОНЫ от касательной прямой. Кстати, производная в точке перегиба может НЕ обращаться в нуль: взгляните на график функции (у = sin(х) возле точки (х=0)! Поиск точек перегиба требует расчета ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ от интересующей нас функции: она, по определению, есть производная от первой производной… Г: ?
Но это же очень скучно: отдельно разбирать каждую точку графика функции! Неужели нельзя изучить весь график сразу? как одно целое? М: ? Можно! Такая работа называется ГРАФИЧЕСКИМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ? или ГРАФИЧЕСКИМ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ.
Начнем с примера. Пусть f(х) = (ах..
+вх+с). График этой функции? хорошо знакомая вам парабола. Попробуем построить графики ДВУХ функций: g(х), которая является ПРОИЗВОДНОЙ от (f(х)), и h(х) ? ПРОИЗВОДНАЯ ОТ КОТОРОЙ равна f(х). Давайте забудем на время этой работы известную ФОРМУЛУ функции f(х)! Будем танцевать от ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ее графика?
и построим ПРИБЛИЖЕННЫЕ графики функций g(х) и h(х). Г: ? Хорошо, попробуем! М: ? Положим для определенности, что «рога» нашей параболы торчат вверх, а ее вершина лежит в точке (2; -1). Что вы можете сказать о графике функции g(х) ?
производной функции f(х)? Г: ? Сначала рассмотрим график f(х) на ЛЕВОЙ половине числовой оси: от (-…) до (+2).
Там f(х) монотонно убывает. Значит, ее производная g(х) на этом луче ОТРИЦАТЕЛЬНА. Только в точке (х=2) она обращается в нуль? а затем становится ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ на всем луче (2;…
). М: ? Верно! Со ЗНАКАМИ производной вы разобрались. А что можно сказать о МОДУЛЕ производной? Г: ?
Видно, что при движении от (-…) до (х=2) КРУТИЗНА параболы УМЕНЬШАЕТСЯ. Значит, модуль производной g(х) УБЫВАЕТ на луче (-… ; 2), а потом вновь ВОЗРАСТАЕТ на луче (2; …). Видно, что это возрастание ничем не ограничено: то есть, при (х-…
) модуль производной g(х) стремится к бесконечности. М: ? Все верно! Этого достаточно, чтобы нарисовать приближенно ГРАФИК функции (у=g(х)). Сделайте это!
Г: ? Примерно так: ……………… Но это? очень грубый рисунок! Мы же знаем, что истинный график функции f(х) ?
ПАРАБОЛА, заданная многочленом степени 2. Значит, ее производная? ЛИНЕЙНАЯ функция. То есть, ее точный график?
ПРЯМАЯ линия! М: ?
Я вам не зря говорил: забудьте ФОРМУЛУ функции, опирайтесь только на ее ГРАФИК! В итоге вы нарисовали график производной от ЛЮБОЙ функции, график которой ПОХОЖ на квадратичную параболу со сдвинутой вершиной. Например, так можно сдвинуть график функции (у=х.. ): на чертеже вы не глазок не отличите эту кривую от привычной параболы. Г: ? Так чей же график я сейчас нарисовал?
под видом «производной от параболы»? М: ? Вы нарисовали ТО ОБЩЕЕ, что будет у графиков производных от ЛЮБЫХ функций, графики которых похожи на обычную параболу!
Если график функции был обычной параболой, то график ее производной? прямая линия. Если же я подсунул вам вместо параболы (у=х..) похожий график функции (у=х..), то ее производная будет (у=4х.. ). Ее график тоже похож на то, что вы нарисовали. Только в точке пересечения с осью (Х) касательная прямая к графику производной функции g(х) ГОРИЗОНТАЛЬНА?
так что этот график КОСНЕТСЯ оси (х), пересекая ее? а не пересечет ее под острым углом, как прямая (у=ах+в). Вот какие разные случаи может нечаянно охватить честно нарисованный приближенный график производной от заданной функции! Г: ? Значит, мы с вами вели мелкие разговоры на очень глубоком месте! М: ? Воистину так!
Хотите продолжить беседу в том же духе? Г: ? Отчего бы нет?
Продолжим! М: ? Теперь попробуйте нарисовать график функции (у=h(х), производная от которой имеет своим графиком ту параболу, с которой мы начали разговор! Г: ? Это будет потруднее?
но попробуем! Сначала разобьем ось (Х) на три интервала? согласно ЗНАКАМ функции f(х).
На левом луче (f(х)0), на среднем интервале (f(х)<0), на правом луче (f(х)0). Это значит, что искомая функция (у=h(х) ВОЗРАСТАЕТ на левом луче, УБЫВАЕТ на среднем интервале, потом вновь ВОЗРАСТАЕТ на правом луге. Ясно, что она имеет МАКСИМУМ на стыке левого луча со срединим интервалом, и МИНИМУМ? на стыке интервала с правым лучом! Стало быть, ГРАФИК искомой функции (у=h(х) выглядит примерно так: М: ?
Верно! Только точек ИЗЛОМА на этом графике НЕТ и быть не может: ведь функция (у=h(х) имеет производную (у=f(х) во ВСЕХ точках! На графике у=h(х) будут ДВА ГЛАДКИХ ГОРБА: один максимум и один минимум. Г: ? Согласен! М: ?
Тогда еще один коварный вопрос: сколько разных решений имеет уравнение (h(х)=0)? Г: ? На моем чертеже видно, что их ТРИ! М: ? А вы подумайте: что будет с графиком исходной функции (у=f(х), если вы СДВИНЕТЕ график построенной вами функции (у=h(х) вверх или вниз вдоль оси (Y)?
Г: ? То есть, если добавить к функции (у=h(х) константу? Ее производная (у= f(х) при этом НЕ ИЗМЕНИТСЯ! Значит, функция (у=h(х) НЕ ОДНОЗНАЧНО восстанавливается по известной функции (у=f(х)? М: ? Соверешенно верно! Он определен с точностью до ПОСТОЯННОГО СЛАГАЕМОГО.
Оттого уравнение (h(х)=0) в вашем случае может иметь либо ТРИ разных корня, либо ОДИН корень. Кстати: теперь полезно вспомнить ТОЧНУЮ ФОРМУЛУ исходной функции (у=f(х) ? и написать ФОРМУЛУ (у=h(х). Г: ?
Вначале был некий многочлен степени 2. Значит, в итоге получится некий многочлен степени 3. М: ? Верно! Вот вы и нарисовали график ПРОИЗВОЛЬНОГО кубического многочлена.
Он заметно отличается от ПРОСТЕЙШЕГО графика (у=х..), который у вас получился на первом этапе работы?
когда вы нечаянно графически продифференцировали функцию (у=х..). Теперь вы видите разницу между ними? Г: ? Вижу! График «ЧИСТОГО куба» имеет ОДНУ точку ПЕРЕГИБА? но не имеет ни минимумов, ни максимумов.
График ОБЩЕГО кубического многочлена имеет ОДИН минимум и ОДИН максимум? зато он не имеет перегибов! М: ? Не так! Общий кубический график ИМЕЕТ один перегиб (между точками мимимума и максимума) ? но в точке перегиба касательная к графику НЕ горизонтальна, а НАКЛОННА! Ну вот: ценою немалых усилий вы научились ДИФФЕРЕНЦИРОВАТЬ либо ИНТЕГРИРОВАТЬ графики функций «на глазок».
Дальше вы можете упражняться в свое удовольствие! Например, выясните: какова форма графика произвольного многочлена степени 4? Или напишите уравнение спины двугорбого верблюда! И так далее: дорогу осилит идущий!