Цель, Рассмотреть корень П-и Степени из числа. Ход уроков I. Сообщение темы и цели уроков П. Изучение нового материала Сначала необходимо обсудить с учащимися Понятие квадратного Корня из числа А: Это такое Число, квадрат которого равен числу А. Другими словами, Х — квадратный корень из числа А, Если выполнено равенство Х~ = а. Предложите ученикам по аналогии ввести понятие корня и-й степени из числа А. Обобщение совершенно очевидно: Корнем /I-й стеПени из числа А Называется такое число Х9 п-я Степень которого Равна А. Другими словами, Х — решение уравнения Хп = а. Пример 1 А) Число 4 является корнем уравнения х3 = 64, т. к. выполнено равенство 43 = 64.
Б) Числа 2 и -2 являются корнями уравнения Х4 = 16, т. к.
выпол нены равенства: 24 = 16 и (-2)4 = 16. Вообще, при рассмотрении уравнения Хп = а, Как правило, получаем решения, которые являются Иррациональными числами. Такое Решение обозначают символом У[а (читают: корень П-й Степени из числа А). Например, решением уравнения Хг = 2 Является иррациональное число, которое обозначают символом л/2 да 1,25. При решении уравнения Х» = а (где а > О, NeN, п>2) Получаем в Случае четного П Два корня: х, = — л/а и Х2 = Л/а; в случае нечетного П — Один корень Х = %Fa . Это проиллюстрировано рисунком, на котором приведен график функции У = хп И приведено решение уравнения Х» = а.
| 1Г~ Х |
П — Четное П — Нечетное Приведем теперь строгое определение корня. Определение 1, Корнем W-й степени (п = 2, 3, 4, 5, …) из неотрицательного числа А Называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень получают число я. Таким образом, Если A > 0 и П = 2, 3, 4, 5, … , то: 1) л/а > 0 и 2) (^/д)» = а.
Приняты Термины: л/а — корень w-й степени из числа А, Число А — Подкоренное число, число П — Показатель корня. Для наиболее часто встречающихся корней приняты специальные названия: при П = 2 Говорят «квадратный корень» и обозначают сим волом при П = 3 говорят «кубический корень» и обозначают символом л/а.
Вообще, зависимости У/а =Ь И Ь» =а Обозначают одну и ту же связь между неотрицательными числами А И Ь. Операцию нахождения корня называют Извлечением корня. Такая операция является обратной по отношению к операции возведения в соответствующую степень, что видно из данных таблицы.
| Возведение в степень | Извлечение корня | ||
Пример 2 Используя определение, вычислим: А) ^325 = 5, так как 125 > 0, 5 > 0 и 53 = 125; Б) ^0,0081 = 0,3, так как 0,0081 > 0, 0,3 > 0 и 0,34 = 0,0081;
| Ч /64 4 64 Л 4 Л f4Y 64 в) з/.—- = — так как—— > 0, — > 0 и «125 5 125 5 |
64 125; V— 5 625 л 5 л (5\4 625 Так как—- > О, — > 0 и
| 81 |
81 3 81 3 Д) V0 = 0, так как 0 > 0 и О9 = 0. Операцию извлечения корня можно ввести и Для отрицательного Числа а, Но только в случае Нечетного показателя П Корня. Например, равенство (-4)3 = -64 можно записать в виде л/-64 = -4. Для этого случая определение корня аналогично уже приведенному. Определение 2. Корнем нечетной степени П (п = 3, 5, 7, …) из отрицательного числа А Называют такое отрицательное число, при возведении которого в степень П Получают число а. Таким Образом, если A < 0 и П = 3, 5, 7,…, то: 1) Yfa < 0 и 2) (уд)» = А. Пример 3 Используя определение, вычислим: А) ^32 = -2, так как -32 < 0, -2 < 0 и (-2)5 = -32; Б) ^-0,125 = -0,5, так как -0,125 < 0, -0,5 < 0 и (-0,5)3 = -0,125; Ч Г~8~ 2 8 Л 2 л ( 2V 8 В) з/—— = — так как—— <0, —<0 и — =———- .
V 27 3 27 3 У 3) 21 Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т. е. определен) только для неотрицательных подкоренных чисел; корень нечетной степени имеет смысл для любых подкоренных чисел. В заключение остановимся на решении простейших иррациональных уравнений и неравенств. Пример 4 Решим уравнение: А) л/Зх + 7 = -1.
Корень четной степени — число неотрицательное и не может равняться числу -1. Поэтому данное уравнение решений не имеет. Б) л/5х —14 = 1. Обе части уравнения — неотрицательные выраже ние и число. Поэтому обе части возведем в четвертую степень и по лучим линейное уравнение 5х — 14 = 1 или 5л; = 15, корень которого Уроки 1-2. Понятие Корня П—Й Степени Из Действительного Числа 15 Х = 3. Итак, данное иррациональное уравнение имеет единственное решение Х = 3. В) v3x + 10=-2.
Уравнение содержит корень нечетной степени. Возведем в куб обе части и получим линейное уравнение Зх + 10 = = -8 или Зх = -18, корень которого Х = -6. Таким образом, данное уравнение имеет единственное решение Х = -6.
Г) л/П-* = х + 1. Левая часть уравнения — неотрицательное выра жение, т.
к. является квадратным корнем. Поэтому правая часть так же должна быть неотрицательным выражением, т. е. Х + 1 > 0 (откуда Х > -1).
Возведем в квадрат обе части данного уравнения 11 — Х = = (х + 1 )2. При этом очевидно, что подкоренное выражение 11 — Х > 0, т. к. (х + I)2 > 0.
Получим квадратное уравнение 11-х = х2+2х + 1 или 0 = х2+Зх-10. Его корни Xi = 2 и х2 = -5. Однако условию х > -1 удовлетворяет только значение х = 2.
Поэтому корень х = -5 посторонний. Итак, данное иррациональное уравнение имеет един ственное решение х = 2. Пример 5 Решим неравенство: Ч /2х-3 „ „ А) Я——— > -2. Левая часть неравенства — неотрицательное выра- V 4-х Жение, правая часть — отрицательное число. Поэтому неравенство выполнено для всех значений х из ОДЗ неравенства. Решим неравенст- 2х-3 Во ——— >0, например, методом интервалов.
Получаем хе[1,5; 4). 4-х Этот промежуток является решением данного иррационального неравенства.
Б) V*2 + 3х > 2. Левая часть неравенства — неотрицательное выра жение, правая часть — положительное число. Поэтому возведем обе части неравенства в квадрат: х2 + Зх > 4. При этом подкоренное вы ражение положительно. Решим полученное квадратное неравенство Х3 + Зх — 4 > 0 и получим: х е (-оо; — 4] U [1; + °о). В) \1х2 +8х <3.
ОДЗ неравенства задается условием х2 + 8х > 0. Решение этого неравенства хе(-оо; -8]U[0; +оо). Обе неотрица тельные части неравенства Vx2 + 8х < 3 возведем в квадрат. Получа ем квадратное неравенство х2 + 8х < 9 или х2 + 8х — 9 < 0. Его реше ние хе(-9; 1).
С учетом ОДЗ находим решение данного иррацио нального неравенства: хе (-9; -8]U[0; 1). 16 Глава 6. Степени И Корни. Степенные Функции Г) л/х + 3 > 3 — Х. ОДЗ неравенства определяется условием Х + 3 > О, откуда хе[-3;+оо).
При таких значениях Х Правая часть данного Неравенства может быть и отрицательной, и положительной. Рассмотрим эти случаи. 1) При 3 — х < 0 (т. е.
Х > 3) правая часть отрицательна, левая — неотрицательна. Получаем верное неравенство. Поэтому промежуток Х е (3; + со) — решение данного неравенства. 2) При 3 — Х > 0 (т. е. Х < 3) обе части неравенства неотрицательны.
Возведем их в квадрат. Получаем: Х + 3 > (3 — Х)2 Или 0 > Х2 — 1х + 6.
Решение этого квадратного неравенства — промежуток Х е (1; 6). С учетом ограничения Х < 3 находим, что промежуток Х Е (1; 3] — решение данного неравенства. Объединяя решения рассмотренных двух случаев, окончательно найдем решение данного иррационального неравенства: Х е (1; +со). III. Контрольные вопросы 1.
Определение корня N-й Степени из неотрицательного числа. 2. Корень нечетной степени из отрицательного числа. IV. Задание на Уроках § 33 № 1 (а, б); 2 (в, г); 3 (а, в); 4 (а, б); 9 (а, в); 11 (а, б); 12 (в, г); 14 (а, б); 15 (а, г); 16 (б, в); 17 (а, б); 18 (в). V. Задание На Дом § 33 № 1 (В, Г); 2 (А, Б); 3 (Б, Г); 4 (В, Г); 9 (Б, Г); 11 (В, Г); 12 (А, Б); 14 (В, Г); 15 (Б, В); 16 (А, Г); 17 (В, Г); 18 (А). VI. Подведение итогов уроков