Квадратична функція

або . 2) Скоротити дріб. а) ; б) ; в) , ; . Квадратичною функцією називається Функція, яку можна задати формулою виду , де x — незалежна змінна, a, b, c — довільні числа, причому . Графіки функцій і — рівні параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням.

Будь-яку функцію можна представити у вигляді , де m і , n — деякі дійсні числа. А це означає, що графік функції можна дістати за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції . Приклад ; . Отже, щоб дістати графік функції , треба зробити з графіком функції такі перетворення: 1) відобразити симетрично осі Ox; 2) зробити паралельне перенесення на три одиничних відрізка в напрямі осі Ox; 3) зробити паралельне перенесення на один одиничний відрізок униз. Зробимо всі ці перетворення й отримаємо графік функції : При побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції. 1. Координати вершини параболи : xв= ; yв= або yв= y(xв).

Зручніше знаходити ординату вершини як значення функції, що відповідає значенню аргументу x = xв. 2. Точки перетину параболи з осями коор­динат є такими: Абсциса точки перетину параболи з віс­сю Oy дорівнює 0, тоді , .

Ордината точок перетину параболи з віс­сю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння . Якщо це рівняння має два різних корені і , графік перетинає вісь Ox у точках , . Якщо це рівняння має один корінь (тобто ), то цей корінь .

Це означає, що вершина параболи лежить на осі Ox і має координати . Якщо це рівняння не має коренів , парабола не перетинає вісь Ox. 3. Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a. Якщо , вітки параболи напрямлені вгору.

Якщо , вітки параболи напрямлені вниз. 4. Парабола є симетричною відносно прямої . На рисунках, поданих нижче, наведені ескізи розміщення параболи на координатній площині в деяких випадках. 1) ; ; ; ; ; xв. 2) ; ; x1 = x2 = xв= = ; . 3) ; ; xв> 0; . 4) ; ; ; , ; xв= . 5) ; ; ; x1= x2= xв= 6) ; ; ; xв= . Приклад Побудувати графік функції . — вітки параболи напрямлені вниз. xв= ; xв= ; yв= , yв= . Вершина: (3; 1). Точка перетину з віссю Oу: ; (0; –8). Точки перетину з віссю Ox: ; ; ; , . (2; 0); (4; 0). На прикладі цієї функції покажемо, як аналізувати її властивості. 1. . 2. ; — множина значень функції, тобто множина всіх значень y. 3. при і при . 4. Точки перетину графіка з осями коор­динат. (0; -8); (2; 0); (4; 0). 5. при ; при . 6. Функція зростає при , Функція спадає при .

7. Найбільше значення функції — , найменшого значення функції немає. 8. Графік функції — парабола (див. рисунок нижче), що дорівнює параболі , вітки якої напрямлені вниз, яка має вершину в точці (3; 1) і симетрична відносно прямої . Зверніть увагу: будь-яка парабола має один проміжок зростання й один проміжок спадання, причому вісь Ox розбивається на ці проміжки точкою, яка відповідає точці xв. title=»header155″>

title=»header155″>Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків

title=»header155″>Якщо лівою частиною нерівності є вираз виду , де , b, c — дані числа, а правою — нуль, то таку нерівність називають Квадратною не­рівністю. Квадратні нерівності зручно розв’язувати за допомогою графіків квадратичних ­функцій. Для цього треба: 1) знайти корені тричлена або з’ясувати, що їх немає; 2) зобразити схематично графік функції , звертаючи увагу тільки на точки перетину з віссю Ox і напрям віток параболи залежно від знака коефіцієнта а; 3) знайти на осі Ox проміжки, для яких виконується дана нерівність. Приклади 1) , , , , . На ескізі графіка функції (див.

рисунок) знайдемо проміжки, на яких . Відповідь: . 2) , , , .

Вітки параболи графіка напрямлені вниз (див. рисунок). Відповідь: (0; 0,9). 3) , , — коренів немає. Графік функції не перетинає вісь абсцис (див. рисунок). Відповідь: . 4) , , . Графік перетинає вісь абсцис в одній точці (див. рисунок). Відповідь: . 5) . Відповідь: . 6) . Відповідь: . 7) . Відповідь: . Дуже зручно користуватися таким простим правилом: квадратний тричлен із додатним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «за коренями», а від’ємних — «між коренями»; і навпаки: квадратний тричлен з від’ємним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «між коренями», а від’ємних — «за коренями». title=»header156″>

Рівняння, що зводяться до квадратних

Рівняння виду , де , називається Біквадратним. Для його розв’язання вводять нову змінну: , . Приклади 1) . Нехай , . . Розв’язавши це квадратне рівняння, знайдемо: , . , , , , , . ; . Відповідь: , , , . 2) . Нехай , . , , не задовольняє умову . , , . Відповідь: , . 3) . Нехай , . , ; . t1 і t2 не задовольняють умову . Відповідь: коренів немає. Введення нової змінної дає можливість звести до квадратних і деякі інші види ­рівнянь. Приклади 1. . Нехай , . , , не задовольняє умову . , , , . Відповідь: , . 2. . Нехай . Тоді , , , Відповідь: , . а) . , , Відповідь: , . б) . , , ; . Відповідь: , , , .