Понятие квадратичной функции и некоторые ее свойства

Цель: Рассмотрение квадратичной функции и некоторых ее свойств. Ход урока I. Сообщение темы и цели урока II. Изучение нового материала (основные понятия) В науке и технике рассматриваются различные функциональные зависимости (функции), описывающие те или иные закономерности природы. Поэтому в алгебре изучаются Различные виды функций и их Свойства. В 7-м классе вы уже познакомились с Линейной функцией У = кх + B, Ее свойствами и графиком. Эту функцию можно считать одной из простейших. Рассмотрим теперь более сложную функцию, которая называется Квадратичной. Функция У=ах2 + Ьх+ с (где А, А, С Некоторые числа, причем А Ф 0; Х — переменная (или аргумент)) называется квадратичной. Отличительная Особенность Такой функции — Наличие слагаемого, содержащего Х2 (и не Выше этой степени). Пример 1 А) Функции У~х2, У = -7х2, у=2х2 + \, J> = 3×2-5x, у=-4х2+6х-3 являются квадратичными, т.

к. каждая такая зависимость содержит слагаемое, пропорциональное Х2 2 1-Х Б) Функции. у=2х3+3х2, У = — 5х2, У =————- +7х2 Не Являются квад- Х х + 2 Ратичными. Первая функция содержит слагаемое 2х3, более высокой степени, чем слагаемое Зх2. Такая функция называется Кубической. Вторая 2 и третья функции помимо слагаемых -5х2 и 7х содержат дроби — и 1-х —— соответственно.

Эти функции специального названия не имеют (хотя Могут быть приведены К рациональным функциям). К квадратичным функциям приводят многие задачи математики и физики. Пример 2 А) Площадь круга SРадиуса R Является квадратичной функцией S = KR2 (где К — Число, я « 3,14), для которой А ~ Л, Ь = 0, С = 0. Б) Площадь прямоугольного равнобедренного треугольника S С катетом /и Является квадратичной функцией S -—ш2, для которой я = — ,6 = 0, с = 0. В) Кинетическая энергия /Гтела массы /и, движущегося со скоростью V, Является квадратичной функцией Е = —MV2, Для которой A =—M, & = 0, С-0. Г) Расстояние S От земли тела, брошенного вверх со скоростью V, О В момент времени /является квадратичной функцией 5 = —T2 + Vt + S0 (где G — Ускорение свободного падения (постоянная величина), SQ — Расстояние от тела до земли в начальный момент времени /= 0), для которой A = -— , Как и для любой функции, чтобы Найти значение квадратичной функции У(т\ Надо подставить значение аргумента Х = т В аналитический вид функции. Пример 3 Найдем значения функции У(х)=2х2 -Здг+1 прих = —3,х = 0х = 2,х=:т, х = — 2т. Подставив соответствующие значения аргумента, получим: >'(-3)=2-(-3)2-3-(-3)+1 =18 + 9 + 1 = 28; Я0)=2О2-ЗО+1 = 1; Я2)=2-22-3- 2+1=8-6+1 = 3; 3>(/я)=2-/и2-3-/и + 1 = 2т2-3/я+1; Я-2т)=2-(-2/и)2-3(-2/п)+1=8т2+6т+1.

Часто встречается и Обратная задача: по известному значению функции. у ~ П Найти значение аргумента, Для которого оно достигается. Для этого В аналитический вид функции У(х) Надо подставить значение функции У = пн Решить полученное уравнение П=у(х). Вчастности, для квадратичной функции Y{X)=Ax2 + Bx+C Получим квадратное уравнение П = ахг + Ьх + с. Пример 4 Найдем, при каких значениях аргумента Х Квадратичная функция ^=д:2-2х-8 принимает значение, равное а) —11, б) —9, в) 7, г) 0. Подставив соответствующее значение функции П В аналитический вид Функции У~х2-2х~8, получим уравнение: А) — П = д:2-2х-8 или 0 = х2-2л: + 3. Дискриминант этого квадратного Уравнения /> = (— 2J2—4-1-3 = —8<0, и оно действительных корней не имеет. Поэтому данная функция значения У = — 11 не принимает ни при каких действительных значениях аргумента Х. Б) -9 = х2-2х-8, или 0 = х2-2х + 1, или 0 = (X-[F — Единственный корень этого уравнения jc = 1. Следовательно, данная функция принимает значение j> = —9только при одном значении аргумента. В) 7 = х2-2х-8 или 0 = х2-2х-15.

Корни такого квадратного уравне ния xu = 1±VI + 15 =1±4,т. е.х1 — 5нх2~ — 3. Поэтому значение^ —1 Функ ция принимает при двух значениях аргумента л, = 5их2 = —3, т. е. У(5) = 7 и М-3) = 7. Г) 0 = х2-2х-8.

Корни этого квадратного уравнения xl2=l+vl + 8 = = 1+3, т. е. х, — 4 и х2 —2.

Следовательно, значение У = О функция принимает для двух значений аргумента х, = 4 и Х2 = —2. Напомним, что Значения аргумента, для которых значение функции равно Нулю, называются нулями функции. В частности, нулями квадратичной функции j; = x2-2x-8 являются значения аргументах, = 4 их2 = —2. Пример 5 2х2 Х — 1 Найдем нули функции: а) У — Ъх -1х+2, Б) У-—————— . Х-1 А) Положим значение функции У = О и получим квадратное уравнение 0 = Зх2-7х + 2. Корни этого квадратного уравнения 7±л/49-4-3-2 7±5 12 ^ 2 1 „ Х12 =———————- = , т.

е. х,= —=2 и х2 = —= —. Поэтому данная О 6 6 6 3 Функция имеет нули: х, = 2 и х2 = —. Б) Положим значение функции У — О и получим рациональное уравнение П 2х2-х-1 М_—- —^_ Такая дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а F0 = 2×2-x-l знаменатель в нуль не обращается.

Получаем систему \ |х-1*0 1±л/ГГ8 1±3 Корни квадратного уравнения 0 = 2х — х-1 равны xt 2 = ————- = , Т. е. Xj = 1 и х2 = -— . Однако значение х = 1 не удовлетворяет неравенству 2 1 Х — 1 Ф 0. Поэтому данная функция имеет только один нуль х = -— Пример 6 Найдем нули функции Y = 5X2-6Ax+A2 (где A — некоторое число). Положим значение функции У = 0 и получим квадратное однородное 2 „ „ 3Yl9A2-5A2 Уравнение 0 = 5х —Bax + A • Найдем его корни хи =———————— — = Ъа±2а а —, т. е.

х, = А И Х2 =— . Следовательно, при А Ф 0 нули данной J D А Функции Xj = а И х2 =—; при А = 0 нуль данной функции х = 0. Рассмотрим более сложные задачи, связанные с квадратичной функцией.

Пример 7 Известны три значения квадратичной функции У{х)=ах2 +Ьх+с:у(—2) = = —25, У(0) — — 1 и У{3) = —40. Найдем числа а, 6 и с. Запишем значения функции при значениях аргумента Х = —2, л: = 0 и Х = 3. Получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: ‘-25=tf-(-2J*+*-(-2)+c L4A-2B+C=-25 -\ = A-Q+B-0+C Или • с~-\ . Подставим значение -4Q = A-32+B3+C [9а+ЗЬ+с = -\3 С = — 1 в первое и третье уравнения и получим систему двух уравнений 4я-2А-1 = -25 f2fl-A = -12 С двумя неизвестными: In _. , ._ или i„ , … Сложим [9о+Зй-1 = -40 [За+6=-13 Уравнения системы и получим = —25, откуда о = —5.

Подставим это значение в первое уравнение системы: 2 • (—5) — B — —12 или 10 + 6 = 12, откуда B = 2. Итак, я = —5, /> = 2 и с = — 1. Пример 8 Один из нулей функции У(х)=х2 -(а+\)х-6а2 +3а Равен 6. Найдем другой нуль этой функции.

Рассмотрим два способа решения такой задачи. 1 способ. Нули данной квадратичной функции определяются Квадратным уравнением 0 = х2 -(а+\)х-6а2 +3а. Найдем его корни: _A + L±<J{A + \Y-4(-6A2 + 3A) А +1±л/25а2-10д + 1 _Д + 1±(5д-1) *’-2~ 2 » 2 2 Т. е. х, = За и х2 = I — 2а. Теперь рассмотрим два случая: А) пусть первый нуль равен 6 (т. е. За = 6), откуда А — 2.

Тогда второй нуль данной функции х3= 1 — 2а = 1—2-2 = —3; Б) пусть второй нуль равен 6 (т. е. 1 — 2я = 6), откуда А = —-. Тогда первый ( 5} 15 пуль данной функции Х.=3а~3- — =———— . I 2) 2 2 способ. Так как один из нулей данной функции равен 6, то подставим Это значение в уравнение 0-х2~(а+\)х-6а2 + За И получим: 0=62-(a+l)-6-6a2 + 3a или 2я2+а-10 = 0.

Корни этого уравнения -1 + VT+80 -1±9 5

А\,2~——- ‘А——- = ——’ т — е — ai=~T и я2 = 2. Теперь исследуем

——— =——— , т. е. в, =—г 4 4 2 Квадратное уравнение 0=Х2 -(а+\)х-6а2 +Ъа. Возникают два случая: А) для А = ~~ Это уравнение имеет вид: 0 = х2+—х-45 или -3±л/9 + 720 -3±27 О = + Зх — 90. Корни этого уравнения х, 2 =——————- = —-— , т. е.

Х, = 6и Х2-——;

15 2 б) для я = 0 уравнение имеет вид: 0 = Х2 — Зх -18.

Корни такого уравнения 3+V9+72 3±9 х12 =—————- = —5~>т — е- *, = -3 и х2 = 6. Итак, при А = ~ Другой нуль данной функции х =————- ; при А = 2 Другой нуль функции х = —3; при других А Задача не имеет решений. Пример 9 Для квадратичной функции У(х) Выполнено условие Y(X+2)=3X*+ 10х+\5. Найдем данную функцию^(х). Заметим, что запись У(х + 2) означает значение функции У(х) При значении аргумента х + 2.

Рассмотрим два способа решения этой задачи. /Способ. Квадратичная функция У(х) Имеет вид У(х)=^ ах2 + Ьх+с. Тогда Y(X + 2)=A(X + 2F +B(X + 2)+C = Ax2 + 4ях + 4я + 6х + 2£ + с = = ах2 +(4A+B)X+(4A+2B+C). Сравним это значение сданным значением _у(х+2)=Зх2 + 10х+!5.

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, получим систему трех линейных уравнений с тремя А = 3 Неизвестными: ‘ 4я+о= 10 Подставим значение А = 3 во второе и 4я+2#+с=15 третье уравнения системы. Имеем систему двух линейных уравнений с f4-3+A=10 Двумя неизвестными: 1 . . _, … Из первого уравнения этой системы Найдем B = —2. Тогда из второго уравнения имеем: 12 + 2 • (—2) + С ~ 15, Откуда С = 7. Итак, получили А = 3, B = —2, с = 7 и функция у(х)= Зх2 — 2х+7.

2способ. Так как дано у(х+2)= Зх2 +1 Ох +15, то обозначим буквой /=х + 2. Тогда х = T — 2. Подставим эту величину в равенство У(х+2)= Зх2 + 10х+15 и Получим у(г)=3(/-2У + 10(/-2)+15 = 3/2-12/+ 12+10/-20 + 15 = 3/2-2г + 7. Имеем Y(T)= 3T2 — 2/+ 7. Так как аргумент функции можно обозначить любой Буквой х, /, Z И т.

д. , то сразу получаем У(х)=Зх2 — 2х+7. Заметим, что второй способ решения универсальный, т. к. изначально не требуется, чтобы У(х) Была квадратичной. Пример 10 Для квадратичной функции У(х) Выполнено условие Зу(х)-2у(-х)=2х2 -5х+4. Найдем данную функциюУ(х). Запись У(-х) Означает значение функции У(х) При значении аргумента (—х).

Для решения этой задачи также можно использовать два способа, подобные примененным в примере 9. 1 способ. Квадратичная функция У(х) Имеет вид У(х)=ох2 +Лх+с. Тогда Y(-X)=A-(-Xf +B(-X)+C=Ax2 —Bx+с. Найдем выражение Зу(х)-2у(-х)= = 3(Ax2+Bx+C)-2(Ax2-Bx+C)==Ax2 + 5Bx+C. Сравнивая это выражение сданным равенством Зу(х)-2у(-х)=2х2-5х+4, Получаем систему трех А = 2

Уравнений с тремя неизвестными ‘

5Ь~*, откудая = 2, Ь~— I, с = 4. Тогда с=4 Данная функция У(х)=2х2 Х+4. 2 способ. Данное равенство Зу(х)-2у(-х)=2х2~5х+4 Запишем для Значения аргумента (—Х) И получим: 3Y(-X)-2Y(X)=2(-XJ ~5(-х)+4 = = 2х2 + 5х +4. Для удобства обозначим А = у{х) И £=Х~*)-Д™ неизвестных я F3<3-2Z> = 2×2-5jc+4 .

„ И B Имеем систему двух линейных уравнений: \ .В этой J У \-2а + ЗЬ = 2х2+5х+4 Системе нас интересует только неизвестная А. Поэтому используем способ сложения. Умножим первое уравнение на число 3, второе уравнение — на число \9а-6Ь = 6х2-\5х + \2 ^» 1-4 Fih-л. 2 In R» Сложим уравнения системы и получим 5fl = 10×2-5x + 20,откуда д = 2х2-х+4,т. е. У(х)=2х2-х+4. Вновь второй способ оказался универсальным, т. к. не требуется, чтобы функция У{х) Была квадратичной. III. Контрольные вопросы 1.

Приведите примеры квадратичных функций. 2. Какая функция называется квадратичной? 3. Какие значения аргумента называются нулями функции? IV. Задание на уроке № 578 (1, 3,5); 579 (2); 581 (1); 582 (1, 5); 583 (2); 585 (1, 3). V. Задание на дом № 578 (2,4, 6); 579 (4); 581 (4); 582 (2, 6); 583 (4); 585 (2, 4).