Роберт Стивенсон родился 13 ноября 1850 г. в Эдинбурге, в семье потомственного инженера, специалиста по маякам. При крещении получил имя Роберт Льюис Бэлфур. Учился сперва в Эдинбургской академии, затем — на юридическом факультете Эдинбургского университета, который он окончил в 1875 г. В возрасте 18 лет отказался от слова Бэлфур в своем имени, а в слове Льюис изменил способ написания с Lewis на Louis (не меняя произношения).
В 1873–1879 жил преимущественно во Франции на скудные заработки подающего надежды литератора и редкие денежные переводы из дома, сделался своим человеком в «городках» французских художников. Совершил путешествие на байдарке по рекам Франции, описанное в его первой опубликованной книге Путешествие в глубь страны (An Inland Voyage, 1878), и пеший поход, описанный в Путешествии с ослом в Севенны (Travels with a Donkey in the Cvennes, 1879). В деревушке Грез, куда съезжались художники, встретил Франсес Матильду (Вандегрифт) Осборн, американку старше его на десять лет, увлекавшуюся живописью. Разъехавшись с мужем, она жила с детьми в Европе. Стивенсон горячо полюбил ее, и как только развод был получен, 19 мая 1880 влюбленные сочетались браком в Сан-Франциско. Их совместная жизнь была отмечена неусыпной заботой Фанни о болезненном муже. Стивенсон подружился с ее детьми, а впоследствии его пасынок (Сэмюэл) Ллойд Осборн стал соавтором трех его книг: Ошибка (The Wrong Box, 1889), Отлив (The Ebb-Tide, 1894) и Потерпевшие кораблекрушение (The Wrecker, 1892).
В 1880 Стивенсону был поставлен диагноз – туберкулез. В поисках целительного климата он посетил Швейцарию, юг Франции, Борнмут (Англия) и в 1887–1888 Саранак-Лейк в штате Нью-Йорк. Отчасти из-за плохого здоровья, отчасти чтобы собрать материал для очерков, Стивенсон с женой, матерью и пасынком отправился на яхте в южные области Тихого океана. Они посетили Маркизские острова, Туамоту, Таити, Гаваи, Микронезию и Австралию и приобрели участок земли на Самоа, экономии ради решив надолго обосноваться в тропиках. Свое владение он назвал Вайлима (Пятиречье).
Климат острова пошел ему на пользу: в просторном плантаторском доме в Вайлиме были написаны некоторые из лучших его произведений.
С 1890 жил на островах Самоа. Первая книга, «Пентландское восстание», вышла в 1866 г. Мировую славу писателю принёс роман «Остров сокровищ» («Treasure Island» 1883, рус. пер. 1886) — классический образец приключенческой литературы. Затем последовали историко-приключенческие романы романы «Принц Отто» («Prince Otto» 1885, рус. пер. 1886), «Похищенный» («Kidnapped» 1886, рус. пер. 1901), «Чёрная стрела» («The Black Arrow» 1888, рус. пер. 1889), «Владелец Баллантре» (The Master of Ballantrae 1889, рус. пер. 1890), «Катриона» («Catriona» 1893, рус. пер. 1901), «Сент-Ив» («St. Ives», окончен после смерти Стивенсона А. Квиллером Кучем 1897, рус. пер. 1898). Все эти романы отличаются сочетанием увлекательных авантюрных сюжетов, глубокого проникновения в историю и тонкой психологической проработки персонажей. Последний роман Стивенсона «Уир Гермистон» («Weir of Hermiston» 1896), обещавший стать его шедевром, остался неоконченным. Стивенсон является автором нескольких сборников рассказов: «Новые арабские ночи» («New Arabian Nights» 1882, рус. пер. 1901, здесь вводится популярный образ Флоризеля, Принца Богемского), «Еще раз Новые Арабские нОчи» («More New Arabian Nights», в соавторстве с Ф. Стивенсон, женой писателя, 1885), «Веселые ребята и другие истории» («The Merry Men, and other Tales»,1887), «Вечерние беседы на острове» («Island Night’s Entertainments» 1893, рус. пер. 1901). Наряду с «Островом сокровищ» наибольшей известностью среди произведений Стивенсона пользуется психологическая повесть «Странная история доктора Джекила и мистера Хайда» («The Strange Case of Dr. Jekyll and Mr. Hyde» 1886, рус. пер. 1888). Стивенсон выступал также как поэт (сборники «Детский цветник стихов» 1885, «Баллады» 1890, в России пользуется большой популярностью баллада «Вересковый мед» в переводе С. Маршака), эссеист и публицист. На русский язык произведения Стивенсона переводили К. Бальмонт, В. Брюсов, И. Кашкин, К. Чуковский. 3 декабря 1894 он скоропостижно скончался. Почитатели-самоанцы похоронили его на вершине соседней горы. На могильной плите начертаны слова из его знаменитого Завещания («Под необъятным звездным небом»).